Пифагорейская математика

Что касается тайного значения чисел, то здесь было много предположений. Хотя было сделано много интересных открытий, можно с уверенностью сказать, что со смертью Пифагора был утерян великий ключ к этой науке. Почти 2500 лет философы всех народов пытались разгадать пифагорейскую загадку, но, по-видимому, никому это не удалось. Несмотря на попытки уничтожить все записи учения Пифагора, сохранились фрагменты, дающие ключи к некоторым более простым частям его философии. Главные секреты никогда не были записаны, а передавались устно нескольким избранным ученикам. Эти ученики, по-видимому, не разглашали свои секреты мирянам, в результате чего, когда смерть запечатывала их уста, тайны умирали вместе с ними.

Некоторые из существующих сегодня в мире тайных школ являются продолжением древних мистерий, и хотя вполне возможно, что они обладают некоторыми из первоначальных числовых формул, этому нет никаких доказательств в многочисленных трудах, вышедших из этих групп за последние пятьсот лет. Эти труды, хотя и часто обсуждают Пифагора, не демонстрируют более полного знания его сложных доктрин, чем греческие спекулянты после Пифагора, которые много говорили, мало писали, знали еще меньше и скрывали свое невежество за серией таинственных намеков и обещаний. Кое-где среди литературных произведений ранних авторов встречаются загадочные утверждения, которые они не пытались истолковать. Следующий пример цитируется из Плутарха:

«Пифагорейцы идут еще дальше и почитают четные числа и геометрические фигуры именами и титулами богов. Так, равносторонний треугольник они называют Минервой и Тритогенией, потому что он может быть разделен на три перпендикуляра, проведенные из каждого угла. Так и единицу они называют Аполлоном, поскольку числу два они присвоили имя борьбы и дерзости, а числу три — справедливости. Ибо, как причинение вреда является крайностью с одной стороны, так и страдание — крайностью с другой, а страдание — посередине между ними. Точно так же число тридцать шесть, их Тетрактис, или священный Кватернион, состоящий из первых четырех нечетных чисел, сложенных с первыми четырьмя четными, как обычно сообщается, рассматривается ими как самая торжественная клятва, которую они могут дать, и называется Космосом». (Исида и Осирис .)

Ранее в этом же произведении Плутарх также отмечает:

«Ибо, как сила треугольника выражает природу Плутона, Вакха и Марса; и свойства квадрата Реи, Венеры, Цереры, Весты и Юноны; и додекаэдра Юпитера; так, как сообщает Евдокс, фигура пятидесяти шести углов выражает природу Тифона». Плутарх не претендовал на объяснение внутреннего значения символов, но считал, что связь, которую Пифагор установил между геометрическими телами и богами, была результатом изображений, которые великий мудрец видел в египетских храмах.

Альберт Пайк, великий масонский символист, признавал, что по многим вопросам ему не удавалось получить достоверную информацию. В своей работе «Символизм» он писал о 32° и 33°: «Я не понимаю, почему 7-ю цифру называют Минервой, а куб — Нептуном». Далее он добавил: «Несомненно, названия, данные пифагорейцами различным числам, сами по себе были загадочными и символическими, и нет сомнений, что во времена Плутарха скрытые в этих названиях значения были утрачены. Пифагору слишком хорошо удалось скрыть свои символы за завесой, которая с самого начала была непроницаема, без его устного объяснения…».

Эта неуверенность, разделяемая всеми истинными исследователями предмета, убедительно доказывает, что делать определенные утверждения, основанные на неопределенной и фрагментарной информации, доступной относительно пифагорейской системы математической философии, неразумно. Приведенный ниже материал представляет собой попытку собрать несколько важных моментов из разрозненных записей, сохранившихся у учеников Пифагора и других, кто впоследствии соприкоснулся с его философией.

МЕТОД ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЧИСЛОВОЙ СИЛЫ СЛОВ

Первый шаг в получении числового значения слова — это его перевод на исходный язык. Успешному анализу этим методом подлежат только слова греческого или еврейского происхождения, и все слова должны быть написаны в их наиболее древних и полных формах . Поэтому слова и имена Ветхого Завета должны быть переведены обратно на ранние еврейские буквы, а слова Нового Завета — на греческий язык. Два примера помогут прояснить этот принцип.

Иудейский Демиург называется по-английски Иегова , но для определения числового значения имени Иегова необходимо разложить его на еврейские буквы. Оно становится יהוה и читается справа налево. Еврейские буквы: ה, Хе; ו, Вау; ה, Хе; י, Йод; и в обратном порядке слева направо читается: Йод-Хе-Вау-Хе . Обратившись к приведенной выше таблице значений букв, можно обнаружить, что четыре символа этого священного имени имеют следующее числовое значение: Йод равен 10 , Хе равен 5, Вау равен 6, а второй Хе равен 5. Следовательно, 10+5+6+5=26, синоним Иеговы . Если бы использовались английские буквы, ответ, очевидно, был бы неверным.

Второй пример — таинственный гностический пантеон Абраксас . Для этого имени используется греческая таблица. Абраксас по-гречески — Ἀβραξας. А = 1, β = 2, ρ = 100, α = 1, ξ = 60, α = 1, ς = 200, сумма равна 365, числу дней в году. Это число дает ключ к тайне Абраксаса, который символизирует 365 Эонов, или Духов Дней, собранных вместе в одной составной личности. Абраксас символизирует пять существ, и поскольку круг года фактически состоит из 360 градусов, каждое из исходящих божеств составляет одну пятую часть этой силы, или 72, одно из самых священных чисел в Ветхом Завете евреев и в их каббалистической системе. Этот же метод используется для определения числового значения имен богов и богинь греков и евреев.

Все числа старше 10 можно свести к одному из десяти исходных чисел, а само число 10 — к 1. Следовательно, все группы чисел, полученные в результате перевода имен божеств в их числовые эквиваленты, имеют основу в одном из первых десяти чисел. В этой системе, в которой цифры складываются, 666 становится 6+6+6 или 18, а это, в свою очередь, становится 1+8 или 9. Согласно Откровению, 144 000 человек должны быть спасены. Это число становится 1+4+4+0+0+0, что равно 9, таким образом доказывая, что и Вавилонский зверь, и число спасенных относятся к самому человеку, символом которого является число 9. Эта система может быть успешно использована как с греческими, так и с еврейскими буквенными значениями.

Первоначальная пифагорейская система числовой философии не содержит ничего, что оправдывало бы ныне распространенную практику изменения имени или фамилии в надежде улучшить темперамент или финансовое положение путем изменения вибраций имени.

Существует также система вычислений, распространенная в английском языке, но ее точность является предметом законных споров. Она сравнительно современна и не имеет никакого отношения ни к еврейской каббалистической системе, ни к греческой методике. Утверждение некоторых о ее пифагорейском происхождении не подкрепляется никакими реальными доказательствами, и существует множество причин, по которым такое утверждение несостоятельно. Тот факт, что Пифагор использовал 10 в качестве основы для вычислений, в то время как эта система использует 9 — несовершенное число — сам по себе почти неопровержим. Кроме того, расположение греческих и еврейских букв недостаточно точно совпадает с английским, чтобы позволить применять числовые последовательности одного языка к числовым последовательностям других.

ЧИСЛОВЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЕВРЕЙСКОГО, ГРЕЧЕСКОГО И САМАРИТЯНСКОГО АЛФАВИТОВ.

Из книги Хиггинса « Кельтские друиды» .

ПРИМЕЧАНИЕ. При использовании в конце слова еврейский символ Тау имеет числовое значение 440, Каф — 500, Мем — 600, Нун — 700, Пе — 800, Цади — 900. Пунктирный Альфа и штриховой Алеф имеют значение 1000.

Дальнейшие эксперименты с этой системой могут оказаться полезными, но она не имеет под собой никаких оснований в древности. Расположение букв и цифр следующее:

Буквы под каждой из цифр соответствуют значению цифры в верхней части столбца. Таким образом, в слове man M = 4, A = 1, N = 5: всего 10. Значения чисел практически совпадают с значениями, заданными пифагорейской системой .

Введение в пифагорейскую теорию чисел

(Приведённый ниже обзор пифагорейской математики представляет собой перефразирование первых глав «Теоретической арифметики» Томаса Тейлора , самого редкого и важного из сохранившихся сборников фрагментов пифагорейской математики.)

Пифагорейцы провозгласили арифметику матерью математических наук. Это доказывается тем фактом, что геометрия, музыка и астрономия зависят от неё, но она от них не зависит. Таким образом, геометрию можно исключить, но арифметика останется; но если исключить арифметику, геометрия исчезнет. Точно так же музыка зависит от арифметики, но исключение музыки влияет на арифметику лишь ограничивая одно из её проявлений. Пифагорейцы также показали, что арифметика предшествует астрономии, поскольку последняя зависит как от геометрии, так и от музыки. Размер, форма и движение небесных тел определяются с помощью геометрии; их гармония и ритм — с помощью музыки. Если исключить астрономию, ни геометрия, ни музыка не пострадают; но если исключить геометрию и музыку, астрономия будет уничтожена. Таким образом, устанавливается приоритет геометрии и музыки над астрономией. Арифметика же предшествует всему; она является первичной и фундаментальной.

Пифагор наставлял своих учеников, что наука математика делится на две основные части. Первая занимается множеством , или составными частями вещи, а вторая — величиной , или относительным размером или плотностью вещи.

Величина делится на две части — стационарную и подвижную, причём стационарная часть имеет приоритет. Множество также делится на две части, поскольку оно связано как само с собой, так и с другими вещами, причём первая связь имеет приоритет. Пифагор отнёс науку арифметики к множеству, связанному с самим собой, а искусство музыки — к множеству, связанному с другими вещами. Геометрия также была отнесена к стационарной величине, а сферические величины (используемые частично в астрономии) — к подвижной величине. И множество, и величина были ограничены окружностью разума. Атомная теория доказала, что размер является результатом числа, поскольку масса состоит из мельчайших единиц, хотя непосвящённые ошибочно принимают её за единое простое вещество.

Ввиду фрагментарного характера сохранившихся пифагорейских записей трудно дать точные определения терминов. Однако прежде чем это станет возможным, необходимо пролить свет на значения слов «число», «монада» и «один».

Монада обозначает (а) всеобъемлющее ЕДИНОЕ. Пифагорейцы называли монаду «благородным числом, Владыкой богов и людей». Монада также обозначает (б) сумму любой комбинации чисел , рассматриваемых как единое целое. Таким образом, Вселенная рассматривается как монада, но отдельные части Вселенной (такие как планеты и элементы) являются монадами по отношению к частям, из которых они сами состоят, хотя они, в свою очередь, являются частями большей монады, образованной из их суммы. Монаду также можно уподобить (в) семени дерева, которое, когда вырастет, имеет много ветвей (числ). Другими словами, числа для монады — это то же самое, что ветви дерева для семени дерева. На основе изучения таинственной пифагорейской монады Лейбниц разработал свою великолепную теорию атомов мира — теорию, полностью соответствующую древним учениям Мистерий, поскольку сам Лейбниц был посвященным в тайную школу. Некоторые пифагорейцы также считают монаду (d) синонимом единого .

Число — это термин, применяемый ко всем цифрам и их сочетаниям. (Строгое толкование термина «число» некоторыми пифагорейцами исключает 1 и 2.) Пифагор определяет число как протяженность и энергию семенных оснований, содержащихся в монаде. Последователи Гиппаса объявили число первым образцом, использованным Демиургом при формировании Вселенной.

Платонисты определяли Единое как «вершину множества». Единое отличается от монады тем , что термин «монада» используется для обозначения суммы частей, рассматриваемых как единое целое, тогда как термин «единое » применяется к каждой из его составных частей.

Существует два порядка чисел: нечётные и чётные . Поскольку единица, или 1, всегда остаётся неделимой, нечётное число не может быть разделено на равные части. Таким образом, 9 — это 4+1+4, где единица в центре неделима. Более того, если любое нечётное число разделить на две части, одна часть всегда будет нечётной, а другая — чётной. Таким образом, 9 может быть 5+4, 3+6, 7+2 или 8+1. Пифагорейцы считали нечётное число — прототипом которого была монада — определённым и мужским. Однако не все были согласны относительно природы единицы, или 1. Некоторые утверждали, что она положительна, поскольку при сложении с чётным (отрицательным) числом получается нечётное (положительное) число. Другие показали, что если к нечётному числу прибавить единицу, последнее станет чётным, тем самым делая мужское число женским. Единица, или 1, считалась андрогинным числом, сочетающим в себе как мужские, так и женские качества; следовательно, одновременно нечетным и четным. По этой причине пифагорейцы называли ее четно-нечетной . У пифагорейцев было принято приносить в жертву высшим богам нечетное количество предметов, в то время как богиням и подземным духам приносилось четное количество.

Любое четное число можно разделить на две равные части, которые всегда либо обе нечетные, либо обе четные. Таким образом, 10 при делении на равные части дает 5+5, оба числа нечетные. Тот же принцип справедлив, если 10 разделить на неравные части. Например, в 6+4 обе части четные; в 7+3 обе части нечетные; в 8+2 обе части снова четные; и в 9+1 обе части снова нечетные. Таким образом, в четном числе, как бы оно ни было разделено, части всегда будут либо обе нечетные, либо обе четные. Пифагорейцы считали четное число — прототипом которого была дуада — неопределенным и женским.

Нечётные числа делятся с помощью математического приёма, называемого «решетом Эратосфена», на три общих класса: несложные , сложные и несложно-сложные .

Несоставные числа — это числа, у которых нет делителей , кроме самих себя и единицы, например, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 и так далее. Например, 7 делится только на 7, которое делится само на себя один раз, и на единицу, которая делится на 7 семь раз.

Составные числа — это числа, которые делятся не только на себя и на единицу , но и на какое-либо другое число, например, 9, 15, 21, 25, 27, 33, 39, 45, 51, 57 и так далее. Например, 21 делится не только на себя и на единицу, но и на 3 и на 7.

Несоставные составные числа — это числа, не имеющие общего делителя, хотя каждое из них само по себе способно к делению, например, 9 и 25. Например, 9 делится на 3, а 25 на 5, но ни одно из них не делится на делитель другого; таким образом, у них нет общего делителя. Поскольку у них есть отдельные делители, они называются составными; а поскольку у них нет общего делителя, они называются составными. Соответственно, был создан термин «несоставные составные числа» для описания их свойств.

Чётные числа делятся на три класса: чётные , нечётные и нечётные .

Четно четные числа находятся в двукратном отношении к единице; так: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 и 1024. Доказательство того, что совершенно четное число может быть разделено пополам, а затем эти половины снова разделены пополам до единицы: 1/2 от 64 = 32; 1/2 от 32 = 16; 1/2 от 16 = 8; 1/2 от 8 = 4; 1/2 от 4 = 2; 1/2 от 2 = 1; дальше единицы перейти невозможно.

Четные числа обладают некоторыми уникальными свойствами. Сумма любого количества членов, кроме последнего , всегда равна последнему члену минус один. Например: сумма первого и второго членов (1+2) равна третьему члену (4) минус один; или сумма первого, второго, третьего и четвертого членов (1+2+4+8) равна пятому члену (16) минус один.

В ряду четных чисел первое число, умноженное на последнее, равно последнему, второе число, умноженное на второе с конца, равно последнему, и так далее, пока в нечетном ряду не останется одно число, которое, умноженное само на себя, равно последнему числу ряда; или, в четном ряду, останутся два числа, которые, умноженные друг на друга, дают последнее число ряда. Например: 1, 2, 4, 8, 16 — нечетный ряд. Первое число (1), умноженное на последнее число (16), равно последнему числу (16). Второе число (2), умноженное на второе с конца число (8), равно последнему числу (16). Поскольку это нечетный ряд, в центре остается 4, и это число, умноженное само на себя, также равно последнему числу (16).

Чётно -нечётные числа — это числа, которые при делении пополам не могут быть делены дальше пополам. Они образуются путём последовательного умножения нечётных чисел на 2. В результате этого процесса нечётные числа 1, 3, 5, 7, 9, 11 дают чётно-нечётные числа 2, 6, 10, 14, 18, 22. Таким образом, каждое четное число является чётно-нечётным. Каждое из чётно-нечётных чисел может быть разделено один раз, например, 2, которое превращается в две единицы и не может быть разделено дальше; или 6, которое превращается в две тройки и не может быть разделено дальше.

Еще одна особенность четных и нечетных чисел заключается в том, что если делитель нечетный, то частное всегда четное, а если делитель четный, то частное всегда нечетное. Например: если 18 разделить на 2 (четный делитель), то частное будет равно 9 (нечетное число); если 18 разделить на 3 (нечетный делитель), то частное будет равно 6 (четное число).

Чётные и нечётные числа также примечательны тем, что каждый из них составляет половину суммы членов, находящихся по обе стороны от него. Например:

Сито Эратостена.

Рисунок взят из книги Тейлора «Теоретическая арифметика» .

Это решето — математический инструмент, созданный Эратосфеном около 230 г. до н.э. для разделения составных и несоставных нечетных чисел. Его использование чрезвычайно просто после освоения теории. Все нечетные числа сначала располагаются в естественном порядке, как показано на втором снизу рисунке, обозначенном как « Нечетные числа» . Затем видно, что каждое третье число (начиная с 3) делится на 3, каждое пятое число (начиная с 5) делится на 5, каждое седьмое число (начиная с 7) делится на 7, каждое девятое число (начиная с 9) делится на 9, каждое одиннадцатое число (начиная с 11) делится на 11 и так далее до бесконечности. Эта система, наконец, отсеивает то, что пифагорейцы называли «несоставными» числами, или числами, не имеющими делителей, кроме самих себя и единицы. Эти данные можно найти в нижней панели, обозначенной как «Первичные и несоставные числа ». В своей «Истории математики» Дэвид Юджин Смит утверждает, что Эратосфен был одним из величайших ученых Александрии и назывался своими поклонниками «вторым Платоном». Эратосфен получил образование в Афинах и известен не только своим решетом, но и тем, что вычислил, весьма остроумным методом, окружность и диаметр Земли. Его оценка диаметра Земли была всего на 50 миль меньше полярного диаметра, принятого современными учеными. Это и другие математические достижения Эратосфена являются неопровержимым доказательством того, что в III веке до нашей эры греки не только знали, что Земля имеет сферическую форму, но и могли с удивительной точностью приблизительно определить ее фактический размер и расстояние от Солнца и Луны. Аристарх Самосский, еще один великий греческий астроном и математик, живший около 250 года до н.э., с помощью философских рассуждений и нескольких простых научных инструментов установил, что Земля вращается вокруг Солнца. Хотя Коперник и считал себя первооткрывателем этого факта, он лишь повторил выводы, сделанные Аристархом семнадцать веков назад.

__________________________

10 — это половина суммы 6 и 14; 18 — это половина суммы 14 и 22; и 6 — это половина суммы 2 и 10.

Нечетные, или нечетно-четные, числа представляют собой компромисс между четно-четными и четно-нечетными числами. В отличие от четно-четных, их нельзя разделить пополам до единицы; и в отличие от четно-нечетных, их можно разделить пополам более одного раза. Нечетно-нечетные числа образуются путем умножения четно-четных чисел больше 2 на нечетные числа больше единицы. Нечетные числа больше единицы — это 3, 5, 7, 9, 11 и так далее. Четно-четные числа больше 2 — это 4, 8, 16, 32, 64 и так далее. Первое нечетное число ряда (3), умноженное на 4 (первое четно-четное число ряда), дает 12, первое нечетно-нечетное число. Умножая 5, 7, 9, 11 и так далее на 4, получаются нечетно-нечетные числа. Остальные нечётные числа получаются путём умножения 3, 5, 7, 9, 11 и так далее на остальные чётные числа (8, 16, 32, 64 и так далее). Примером деления нечётного числа пополам является следующее: 1/2 от 12 = 6; 1/2 от 6 = 3, которое нельзя разделить ещё пополам, поскольку пифагорейцы не делили единицу.

Чётные числа также делятся на три других класса: сверхсовершенные , несовершенные и совершенные .

Сверхсовершенные или избыточные числа — это числа, сумма дробных частей которых больше самого числа. Например: 1/2 от 24 = 12; 1/4 = 6; 1/3 = 8; 1/6 = 4; 1/12 = 2; и 1/24 = 1. Сумма этих частей (12+6+8+4+2+1) равна 33, что больше 24, исходного числа.

Недостаточные числа — это числа, сумма дробных частей которых меньше их собственного размера. Например: 1/2 от 14 = 7; 1/7 = 2; и 1/14 = 1. Сумма этих частей (7+2+1) равна 10, что меньше 14, исходного числа.

Совершенные числа — это числа, сумма дробных частей которых равна самим себе. Например: 1/2 от 28 = 14; 1/4 = 7; 1/7 = 4; 1/14 = 2; и 1/28 = 1. Сумма этих частей (14+7+4+2+1) равна 28.

Совершенные числа встречаются крайне редко. Существует только одно число между 1 и 10, а именно 6; одно между 10 и 100, а именно 28; одно между 100 и 1000, а именно 496; и одно между 1000 и 10000, а именно 8128. Совершенные числа находятся по следующему правилу: к первому числу четно-четного ряда (1, 2, 4, 8, 16, 32 и так далее) прибавляется второе число ряда, и если получается несоставное число, оно умножается на последнее число ряда четно-четных чисел, из суммы которых оно получилось. Произведение является первым совершенным числом. Например: первое и второе четно-четные числа — 1 и 2. Их сумма равна 3, несоставному числу. Если умножить 3 на 2, последнее число в ряду четных чисел, использованных для его получения, то произведение будет равно 6, первому совершенному числу. Если сложение четных чисел не дает несоставного числа, то следует прибавлять следующее четное число из ряда до тех пор, пока не получится несоставное число. Второе совершенное число находится следующим образом: сумма четных чисел 1, 2 и 4 равна 7, несоставному числу. Если умножить 7 на 4 (последнее число в ряду четных чисел, использованных для его получения), то произведение будет равно 28, второму совершенному числу. Этот метод вычисления можно продолжать до бесконечности.

При умножении на 2 совершенные числа дают избыточные числа, а при делении на 2 — недостаточные числа.

Философия пифагорейцев развилась из науки о числах. Следующая цитата из «Теоретической арифметики» является прекрасным примером этой практики:

«Итак, совершенные числа — это прекрасные образы добродетелей, которые являются некой промежуточной стороной между избытком и недостатком, а не вершинами, как их считали некоторые древние. И зло действительно противостоит злу, но оба противостоят одному добру. Добро же никогда не противостоит добру, но противостоит двум злам одновременно. Так, робость противостоит дерзости, для которых характерно отсутствие истинной храбрости; но и робость, и дерзость противостоят мужеству. Хитрость также противостоит легкомыслию, для которых характерно отсутствие интеллекта; и оба они противостоят благоразумию. Так же, как и избыток, противостоит алчности, для которых характерно нещедрость; и оба они противостоят щедрости. И подобным образом в других добродетелях; из всего этого очевидно, что совершенные числа имеют большое сходство с добродетелями. Но они также похожи на добродетели и по другой причине; ибо они редко Они встречаются крайне редко и возникают в очень постоянном порядке. Напротив, можно обнаружить бесконечное множество избыточных и уменьшенных чисел, которые не расположены в каком-либо упорядоченном порядке и не возникают из какой-либо определенной цели; и поэтому они имеют большое сходство с пороками, которые многочисленны, чрезмерны и неопределенны.

ТАБЛИЦА ДЕСЯТИ ЧИСЕЛ

(Приведенная ниже схема пифагорейских чисел представляет собой перефразировку трудов Никомаха, Теона Смирнского, Прокла, Порфирия, Плутарха, Климента Александрийского, Аристотеля и других ранних авторитетов.)

Монада --1--так называется потому, что она всегда остается в одном и том же состоянии, то есть отделена от множества. Ее атрибуты таковы: она называется разумом, потому что разум стабилен и обладает превосходством; гермафродитизмом, потому что она одновременно мужского и женского пола; нечетным и четным, ибо, будучи прибавлена к четному, она делает нечетное, а к нечетному – четное; Богом, потому что она является началом и концом всего, но сама не имеет ни начала, ни конца; благом, ибо такова природа Бога; вместилищем материи, потому что она производит дуаду, которая по существу материальна.

Пифагорейцы называли монаду хаосом, мраком, пропастью, Тартаром, Стиксом, бездной, Летой, Атласом, осью, Морфо (название Венеры) и башней или троном Юпитера, из-за великой силы, пребывающей в центре Вселенной и управляющей круговым движением планет вокруг себя. Монаду также называли зародышевым разумом, потому что она является источником всех мыслей во Вселенной. Другие названия, данные ей, были: Аполлон, из-за её связи с Солнцем; Прометей, потому что он принёс человеку свет; Пиралий, тот, кто существует в огне; родословная, потому что без неё не может существовать ни одно число; субстанция, потому что субстанция первична; причина истины; и создание симфонии: всё это потому, что она является изначальной.

Между большим и малым монада равна; между намерением и прощением она находится посередине; в множестве она низка; а во времени она — настоящее, потому что вечность не знает ни прошлого, ни будущего. Она называется Юпитером, потому что он Отец и глава богов; Вестой, огнем дома, потому что она расположена посреди вселенной и остается там, не склоняясь ни в одну сторону, как точка в круге; формой, потому что она ограничивает, охватывает и завершает; любовью, согласием и благочестием, потому что она неделима. Другие символические названия монады — корабль, колесница, Протей (бог, способный менять свою форму), Мнемосина и Полионим (имеющий много имен).

Дуаде были даны следующие символические имена — 2 — потому что она разделена и является двумя, а не одним; и когда есть два, каждый противостоит другому: гений, зло, тьма, неравенство, нестабильность, подвижность, смелость, стойкость, спор, материя, несходство, разделение между множеством и монадой, недостаток, бесформенность, неопределенность, неопределенность, гармония, терпимость, корень, ноги источника, изобилующего идеей, вершина, Фанес, мнение, заблуждение, инаковость, неуверенность, импульс, смерть, движение, порождение, мутация, деление, долгота, увеличение, композиция, общение, несчастье, поддержание, навязывание, брак, душа и наука.

В своей книге « Числа» У. Уинн Весткотт пишет о дуаде: «Ее называли «Дерзостью», потому что это было самое раннее число, отделившееся от Божественного; от «Адитума Божественно питаемой тишины», как говорят халдейские оракулы».

Поскольку монада — отец, то дуада — мать; следовательно, дуада имеет определенные общие черты с богинями Исидой, Реей (матерью Юпитера), Фригией, Лидией, Диндименой (Кибелой) и Церерой; Эратом (одной из Муз); Дианой, потому что луна раздвоена; Диктинной, Венерой, Дионой, Китереей; Юноной, потому что она является одновременно женой и сестрой Юпитера; и Майей, матерью Меркурия.

В то время как монада является символом мудрости, дуада является символом невежества, ибо в ней существует чувство обособленности, которое и является началом невежества. Однако дуада также является матерью мудрости, ибо невежество — по своей природе — неизменно порождает мудрость.

Пифагорейцы почитали монаду, но презирали дуаду, потому что она была символом полярности. Силой дуады была создана бездна в противоположность небесам. Бездна отражала небеса и стала символом иллюзии, ибо подземное было лишь отражением надземного. Подземное называлось майей , иллюзией, морем, Великой Пустотой, и для её символизации персидские маги носили зеркала. От дуады возникали споры и раздоры, пока, соединив монаду с дуадой, Спаситель-Бог не восстановил равновесие, приняв облик числа и распятый между двумя разбойниками за грехи людей.

Триада — 3 — первое число, которое на самом деле нечётное (монада не всегда считается числом). Это первое равновесие единств; поэтому Пифагор говорил, что Аполлон давал оракулы со штатива и советовал совершать возлияние трижды. Ключевые слова качеств триады — дружба, мир, справедливость, благоразумие, благочестие, умеренность и добродетель. Следующие божества причастны к принципам триады: Сатурн (правитель времени), Латона, Рог Копий, Офион (великий змей), Фетида, Геката, Полигимния (муза), Плутон, Тритон, Владыка Моря, Тритогения, Ахелой, а также Лики, Фурии и Грации. Это число называется мудростью, потому что люди организуют настоящее, предвидят будущее и извлекают пользу из опыта поста. Оно является причиной мудрости и понимания. Триада — это число знаний: музыки, геометрии и астрономии, а также науки о небесных и земных существах. Пифагор учил, что куб этого числа обладает силой лунного круга.

Священность триады и её символа — треугольника — проистекает из того факта, что она состоит из монады и дуады. Монада — это символ Божественного Отца, а дуада — Великой Матери. Триада, состоящая из этих двух элементов, поэтому андрогинна и символизирует тот факт, что Бог породил Свои миры из Себя Самого, Который в Своём творческом аспекте всегда символизируется треугольником. Монада, переходящая в дуаду, таким образом, была способна стать родителем потомства, ибо дуада была лоно Меру, в котором мир был зачат и в котором он до сих пор существует в зародыше.

Тетрада — 4 — почиталась пифагорейцами как первородное число, корень всего сущего, источник Природы и самое совершенное число. Все тетрады обладают интеллектом; они имеют возникающий порядок и окружают мир, подобно тому как через него проходит Эмпирей. Почему пифагорейцы представляли Бога в виде тетрады, объясняется в священной речи, приписываемой Пифагору, где Бог назван Числом Числ. Это потому, что декада, или 10, состоит из 1, 2, 3 и 4. Число 4 символизирует Бога, поскольку оно символизирует первые четыре числа. Более того, тетрада является центром недели, находясь посередине между 1 и 7. Тетрада также является первым геометрическим телом.

Пифагор утверждал, что душа человека состоит из тетрады, четырьмя силами которой являются разум, наука, мнение и чувства. Тетрада связывает все существа, элементы, числа и времена года; и ничто не может быть названо, если оно не зависит от тетрактиса. Это Причина и Творец всего сущего, умопостигаемый Бог, Автор небесного и чувственно воспринимаемого блага. Плутарх истолковывает этот тетрактис, который, по его словам, также называется миром, как число 36, состоящее из первых четырех нечетных чисел, сложенных с первыми четырьмя четными числами, следующим образом:

Ключевые слова, присвоенные тетраде, — это стремительность, сила, мужественность, двойная природа и хранительница ключей Природы, поскольку вселенская конституция не может существовать без неё. Её также называют гармонией и первой глубиной. В природе тетрады участвовали следующие божества: Геракл, Меркурий, Вулкан, Вакх и Урания (одна из Муз).

Триада представляет основные цвета и главные планеты, а тетрада — вторичные цвета и малые планеты. Из первого треугольника происходят семь духов, символизируемых треугольником и квадратом. Вместе они образуют масонский фартук.

Пентада — 5 — это объединение нечетного и четного чисел (3 и 2). У греков пентаграмма была священным символом света, здоровья и жизненной силы. Она также символизировала пятый элемент — эфир — поскольку он свободен от возмущений четырех низших элементов. Ее называют равновесием, потому что она делит совершенное число 10 на две равные части.

Пентада символизирует Природу, ибо, умножаясь сама на себя, она возвращается к себе, подобно тому как зерна пшеницы, начиная с семени, проходят через природные процессы и воспроизводят семя пшеницы как конечную форму своего роста. Другие числа, умноженные сами на себя, дают другие числа, но только 5 и 6, умноженные сами на себя, представляют и сохраняют свое первоначальное число в качестве последней цифры в своих произведениях.

Пентада представляет собой все высшие и низшие существа. Иногда её называют иерофантом или жрецом Мистерий из-за её связи с духовными эфирами, посредством которых достигается мистическое развитие. Ключевые слова пентады: примирение, чередование, брак, бессмертие, сердечность, Провидение и звук. Среди божеств, принявших природу пентады, были Паллада, Немезида, Бубастия (Баст), Венера, Андрогиния, Китерея и посланники Юпитера.

Тетрада (элементы) плюс монада равна пентаде. Пифагорейцы учили, что элементы земли, огня, воздуха и воды пронизаны веществом, называемым эфиром — основой жизненной силы и жизни. Поэтому они выбрали пятиконечную звезду, или пентаграмму, в качестве символа жизненной силы, здоровья и взаимопроникновения.

Философы обычно скрывали стихию земли под символом дракона, и многим героям древности было велено отправиться и убить дракона. Поэтому они вонзали свой меч (монаду) в тело дракона (тетраду). Это привело к образованию пентады, символа победы духовной природы над материальной. Четыре стихии символизируются в ранних библейских текстах как четыре реки, вытекающие из Эдемского сада. Сами стихии находятся под контролем составных херувимов из книги Иезекииля.

Пифагорейцы считали, что гексада — 6 — представляет собой, как понимал Климент Александрийский, сотворение мира согласно пророкам и древним мистериям. Пифагорейцы называли её совершенством всех частей. Это число было особенно священно для Орфея, а также для Судьбы, Лахесиды, и Музы, Талии. Его называли формой форм, сочленением вселенной и создателем души.

У греков гармония и душа считались схожими по природе, поскольку все души гармоничны. Гексада также является символом брака, так как она образована соединением двух треугольников, одного мужского и другого женского. Среди ключевых слов, присвоенных гексаде, можно выделить: время, поскольку это мера продолжительности; панацея, поскольку здоровье — это равновесие, а гексада — число равновесия; мир, поскольку мир, как и гексада, часто рассматривается как состоящий из противоположностей в гармонии; вседостаточный, поскольку его части достаточны для целостности (3 + 2 + 1 = 6); неутомимый, поскольку он содержит элементы бессмертия.

Пифагорейцы называли гептаду — 7 — «достойной почитания». Она считалась числом религии, поскольку человек находится под властью семи небесных духов, которым ему надлежит приносить жертвы. Её также называли числом жизни, поскольку считалось, что люди, рожденные на седьмом месяце эмбрионального развития, обычно живут, а те, кто родился на восьмом месяце, часто умирают. Один автор назвал её «Безматеринской Девой», Минервой, потому что она родилась не от матери, а от короны, или главы Отца, монады. Ключевые слова гептады: удача, случай, опека, контроль, управление, суд, сны, голоса, звуки и то, что ведет всё к концу. Божества, чьи атрибуты выражались гептадой, — это Эгис, Осирис, Марс и Клео (одна из Муз).

У многих древних народов семиугольник является священным числом. У евреев Элохимов, как считается, было семь. Они были Духами Зари, более известными как Архангелы, управляющие планетами. Семь Архангелов, вместе с тремя духами, управляющими солнцем в его тройственном аспекте, составляют 10, священную пифагорейскую декаду. Таинственный пифагорейский тетрактис, или четыре ряда точек, увеличивающихся от 1 до 4, символизировал стадии творения. Великая пифагорейская истина о том, что все в природе возрождается через декаду, или 10, тонко сохраняется в масонстве посредством этих рукопожатий, осуществляемых путем соединения 10 пальцев, по пять на каждой руке.

Число 3 (дух, разум и душа) нисходит в число 4 (мир), а сумма этих чисел равна числу 7, или мистической природе человека, состоящей из тройственного духовного тела и четвертичной материальной формы. Они символизируются кубом, имеющим шесть поверхностей и таинственную седьмую точку внутри. Шесть поверхностей — это направления: север, восток, юг, запад, вверх и вниз; или, спереди, сзади, справа, слева, сверху и снизу; или, опять же, земля, огонь, воздух, вода, дух и материя. В центре всего этого находится число 1, представляющее собой прямую фигуру человека, от центра которого в кубе расходятся шесть пирамид. Отсюда вытекает великая оккультная аксиома: «Центр — отец направлений, измерений и расстояний».

Семидесятка — это число закона, потому что это число Создателей космического закона, Семи Духов, стоящих перед Престолом.

Огдоада — 8 — была священна, потому что это было число первого куба, имевшего восемь углов, и единственное чётное число меньше 10 (1-2-4-8-4-2-1). Таким образом, 8 делится на две четверки, каждая четверка делится на две двойки, а каждая двойка делится на две единицы, тем самым восстанавливая монаду. Среди ключевых слов огдоады — любовь, совет, благоразумие, закон и удобство. Среди божеств, причастных к её природе, были Панармония, Рея, Кибела, Кадмея, Диндимен, Орция, Нептун, Фемида и Эвтерпа (муза).

Огдоада — таинственное число, связанное с Элевсинскими мистериями Греции и Кабирами. Её называли малым священным числом. Свою форму она частично заимствовала у извилистых змей на кадуцее Гермеса, а частично у змеевидного движения небесных тел; возможно, также у лунных узлов.

Эннеада — 9 — была первым квадратом нечетного числа (3х3). Она ассоциировалась с неудачей и недостатком, поскольку не дотягивала до совершенного числа 10 на единицу. Ее называли числом человека из-за девяти месяцев его эмбриональной жизни. Среди ее ключевых слов — океан и горизонт, потому что для древних они были безграничны. Эннеада — это безграничное число, потому что за ней нет ничего, кроме бесконечного числа 10. Ее называли границей и ограничением, потому что она объединяла все числа внутри себя. Ее называли сферой воздуха, потому что она окружала числа так же, как воздух окружает землю. Среди богов и богинь, которые в большей или меньшей степени причастны к ее природе, были Прометей, Вулкан, Юнона, сестра и жена Юпитера, Пейан и Аглая, Тритогения, Курет, Прозерпина, Гиперион и Терпсихора (муза).

Цифра 9 считалась злом, потому что это была перевернутая шестерка. Согласно Элевсинским мистериям, это было число сфер, через которые проходит сознание на пути к рождению. Из-за своего сходства со сперматозоидом, цифра 9 ассоциировалась с зародышевой жизнью.

Декада — 10 — согласно пифагорейцам, является наибольшим числом не только потому, что это тетрактис (10 точек), но и потому, что она включает в себя все арифметические и гармонические пропорции. Пифагор говорил, что 10 — это природа числа, потому что все народы считают до него, и, достигнув его, возвращаются к монаде. Декаду называли и небом, и миром, потому что первое включает в себя второе. Будучи совершенным числом, декада применялась пифагорейцами к вещам, связанным с возрастом, силой, верой, необходимостью и силой памяти. Ее также называли неутомимой, потому что, подобно Богу, она была неутомима. Пифагорейцы разделили небесные тела на десять порядков. Они также утверждали, что декада совершенствует все числа и включает в себя природу нечетного и четного, движущегося и неподвижного, добра и зла. Они связывали его силу со следующими божествами: Атласом (ибо он носил числа на своих плечах), Уранией, Мнемосиной, Солнцем, Фанесом и Единым Богом.

Вероятно, десятичная система восходит к тем временам, когда было принято считать на пальцах, которые являлись одними из самых примитивных вычислительных устройств и до сих пор используются многими коренными народами.